Electromagnetismo. Princípios básicos.

Ésta es la primera de una serie de publicaciones en donde vamos a explicar el electromagnetismo, porque considero que saber esto es fundamental para poder comprender el principio de funcionamiento básico de los inductores.

En este post vamos a hablar acerca del campo magnético, y de cómo los campos eléctrico y magnético están siempre juntos y asociados. Más adelante hablaré de las leyes que rigen el electromagnetismo.

 

El campo magnético.

 

El hecho de que una corriente eléctrica tiene un campo magnético asociado fue demostrado por primera vez en 1820 por el físico danés Hans Christian Oersted. Él observó que si colocaba una brújula cerca de un condutor eléctrico, y hacía circular por él una corriente eléctrica, la aguja de la brújula apuntaba de manera perpendicular al conductor, independientemente de la orientación de la misma respecto al norte geográfico.

Otra manera de demostrar la existencia de un campo magnético asociado a una corriente eléctrica es colocando un conductor eléctrico atravesando un papel de manera perpendicular, y esparciendo limaduras de hierro sobre dicho papel, tal como muestra la Figura 1. Veremos que estas limaduras se agrupan formando círculos concéntricos. Esto indica dos cosas importantes:

1- Las líneas del campo magnético son cerradas.

2- El campo magnético es perpendicular al campo eléctrico.

Figura 1.

 

Llegamos finalmente a la conclusión  de que el espacio alrededor de un imán permanente o de un conductor por el que circula corriente está  ocupado por un campo magnético. Necesitamos ahora determinar la dirección de este campo, junto con su magnitud. Para ello tendremos que usar un nuevo vector llamado densidad de flujo magnético, y que se indica con una \vec{B}. Su unidad de medida es el Tesla [T] o el Weber por metro cuadrado [Wb/m²].

Ahora bien: ¿Cuál es el sentido de circulación del campo magnético? Para ello, por convención se usa la “Regla de la mano derecha”. Tal como se muestra en la Figura 2, si tomamos el conductor con la mano derecha de tal manera que el pulgar apunte hacia dónde circula la corriente eléctrica, los otros dedos apuntan hacia dónde circula el flujo magnético.

Figura 2.

 

Puede darse la situación de que algún sistema esté inmerso en algún campo magnético, y este campo sea “saliente” de la hoja de papel (esto quiere decir que va en dirección al lector), o por el contrario el campo magnético sea “entrante” a la hoja de papel.

En el primer caso, el campo magnético se simboliza con puntos; y en el segundo caso, con X. Esto es fácil de recordar si imaginamos flechas indicando la dirección del campo. En el primer caso vemos las puntas de dichas flechas de frente y en el segundo caso sus colas vistas desde atrás. La Figura 3 nos muestra cómo son estas representaciones.

 

Figura 3.

 

Más adelante explicaremos la Ley de Biot-Savart que permite calcular cuánto es la contribución de cada porción infinitésima de conductor por el que circula corriente, al campo magnético medido en cualquier punto del espacio. También explicaremos la Ley de Faraday, que vincula el flujo magnético con la fem inducida en un inductor. Mientras tanto, lo importante aquí es que quede claro que el campo magnético SIEMPRE es perpendicular al eléctrico.

Condensador. Agrupación serie y paralelo.

Vinimos estudiando los condensadores eléctricos, su princípio de funcionamiento, su tensión y corriente y su carga y descarga. Ahora bien ¿Qué pasa si tengo dos o más condensadores conectados entre sí en un circuito? ¿Se pueden agrupar entre sí?.

La respuesta es SÍ y lo vamos a demostrar a continuación. Para eso vamos a tener que tener en claro las dos leyes de Kirchoff, así podremos armar las ecuaciones de funcionamiento.

 

 

 Agrupación en serie de condensadores

 

 

En este caso vamos a trabajar con el circuito eléctrico que aparece en la Figura 1. Tal como se puede ver allí, en cada condensador de C_{1} a C_{n} hay una caída de tensión que llamamos V_{{1}}V_{{2}}…, V_{{n}} respectivamente. Además hay una corriente I que atraviesa todo el circuito.

Figura 1

 

Haciendo uso de la ley de Kirchoff para las tensiones tenemos que:

 

V=V_{{1}}+V_{{2}}+...+V_{{n}}

V=\frac{1}{C_{1}}\int {Idt}+\frac{1}{C_{2}}\int {Idt}+...+\frac{1}{C_{n}}\int {Idt}

 

Aquí podemos sacar factor común la integral de la corriente

 

V=(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+...+\frac{1}{C_{n}})\int {Idt}

 

Queremos hallar la capacidad equivalente total de nuestro circuito bajo análisis. A esta agrupación de condensadores en serie la llamaremos C_{s}. Por lo tanto la corriente de C_{s} resulta:

 

\frac{1}{C_{s}}\int {Idt}=(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+...+\frac{1}{C_{n}})\int {Idt}

 

Y por ende:

 

\frac{1}{C_{s}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+...+\frac{1}{C_{n}}

 

Y así llegamos a la fórmula para agrupar condensadores en serie.

 

{C_{s}=\frac{1}{\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+...+\frac{1}{C_{n}}}

 

O, de forma más general:

 

C_{s}=\frac{1}{\sum_{1}^{n}\frac{1}{C_{x}}}

 

 

 

Agrupación en paralelo de condensadores

 

 

Para estudiar este caso vamos a analizar el circuito de la Figura 2. Allí se puede ver que la tensión V es la misma en todos los condensadores. Sin embargo la corriente en cada uno de ellos es diferente.

Figura 2

 

Aplicando la ley de las corrientes (o de los nodos) de Kirchoff podemos decir que:

 

I=I_{{1}}+I_{{2}}+...+I_{{n}}

I=C_{1}\frac{dV}{dt}+C_{2}\frac{dV}{dt}+...+C_{n}\frac{dV}{dt}

 

Como la tensión es la misma para todos los condensadores, entonces podemos sacar factor común.

 

I=(C_{1}+C_{2}+...+C_{n})\frac{dV}{dt}

 

Queremos hallar un condensador equivalente que sea la agrupación de todos los condensadores en paralelo del circuito. A este nuevo condensador lo llamaremos C_{p}.

La corriente y la tensión de C_{p} serán las mismas que para nuestra agrupación de condensadores.

 

I=C_{p}\frac{dV}{dt}=C_{1}\frac{dV}{dt}+C_{2}\frac{dV}{dt}+...+C_{n}\frac{dV}{dt}

 

La fórmula para agrupar condensadores en paralelo es:

 

C_{p}=C_{1}+C_{2}+...+C_{n}

 

O, escrita de un modo más general:

 

C_{p}=\sum_{1}^{n} C_{x}

 

 

 

 

 

Condensador. Carga y descarga.

En el post anterior estudiamos cómo varía la corriente, la tensión y la energía en un capacitor. Y encontramos que la corriente varía en forma proporcional a la derivada de la tensión en función del tiempo. Ahora ¿Cómo varían la carga y la descarga de un condensador en función del tiempo?

 

Figura 1.

 

Para analizar este fenómeno vamos a utilizar un circuito bien simple, como el de la Figura 1, formado por un condensador C en serie con una resistencia R y alimentado por una fuente de tensión contínua V. La llave S tiene dos posiciones. En la posición 1 vamos a estudiar la carga del condensador. Luego vamos a estudiar la descarga del condensador a través de la resistencia cuando la llave está en la posición 2.

Durante la carga vamos a asumir que el condensador está inicialmente descargado, y durante la descarga vamos a asumir que el condensador quedó previamente cargado.

 

 

Carga de un condensador

 

 

Empezaremos el análisis con llave S está en la posición 1. Así el condensador se carga a través de la resistencia R.

 

De acuerdo a la Ley de las tensiones de Kirchoff:

 

V=V_{{R}}+V_{{C}}

V=R.I+V_{{C}}

V=R.C.\frac{d.V_{C}}{{dt}}+V_{C}

V-V_{C}=R.C.\frac{d.V_{C}}{{dt}}

\frac{dt}{RC}=\frac{dV_{C}}{V-V_{C}}

\int {\frac{dt}{RC}}=\int {\frac{dV_{C}}{V-V_{C}}}

 

Después de integrar una cualquier función, hay que sumarle una constante de integración, que en nuestro caso llamamos k.

Luego hay que hallar el valor de k. Éste depende de las condiciones físicas en las cuales se desarrollan nuestros cálculos.

En el caso que estamos analizando, cuando t=0 entonces V_{C}=0 porque se supone que el condensador está inicialmente descargado.

 

 

\frac{t}{RC}=-ln(V-V_{C})+k

0=-ln(V-V_{C})+k

k=ln(V)

\frac{t}{RC}=-ln(V-V_{C})+ln(V)

\frac{-t}{RC}=ln(\frac{V-V_{C}}{V})

V.e^{\frac{-t}{RC}}=V-V_{C}}

 

Y fnalmente la ecuación de carga del condensador es:

 

V_{C}}=V.(1-e^{\frac{-t}{RC}})

 

 

 

Descarga de un condensador

 

 

Con la llave en la posición 2

 

V_{R}}+V_{C}}=0

V_{R}}=-V_{C}}

I.R=-V_{C}}

R.C.\frac{dV_{C}}{dt}=-V_{{C}}

\frac{dV_{C}}{V_{C}}=-\frac{dt}{RC}

 

Aquí, igual que en el análisis de la carga del capacitor, a la función integrada tenemos que sumarle una constante de integración k. Pero en este caso el condensador no va a estar descargado cuando t=0, sino que va a tener una tensión residual que llamaremos V_{i}.

 

ln(V_{C})+k=\frac{-t}{RC}

ln(V_{i})+k=0

k=-ln(V_{i})

ln(V_{C})-ln(V_{i})=\frac{-t}{RC}

ln(\frac{V_{C}}{V_{i}})=\frac{-t}{RC}

 

Finalmente la ecuación de descarga del capacitor queda así:

 

V_{C}=V_{i}.e^{\frac{-t}{RC}}

 

 

El producto RC es la constante de tiempo en las ecuaciones de carga y descarga vistas anteriormente. Esta constante se simboliza con la letra griega tau (\tau).

En la Tabla 1 podemos ver cómo es la relación entre la tensión de fuente y la del condensador (para el caso de la carga), cuando \tau varía entre 0 y 10. También podemos ver cómo varía la relación, en el caso de la descarga, entre la tensión previamente cargada en el condensador y la instantánea, para los mismos valores de \tau que en la carga.

Se puede observar que tanto en la carga como en la descarga, la variación de tensión es exponencial. Eso está dibujado en las curvas de la Figura 2.

El Error porcentual de la Tabla 1, en el caso de la carga, se define como:

 

e_{{%}}=(1-\frac{V_{C}}{V}).100%

 

y es una medida porcentual de cuánto le falta a V_{C} para alcanzar el valor de V.

Para la descarga, al error porcentual lo definimos de la siguiente manera:

 

e_{%}=\frac{V_{C}}{V_{i}}.100%

 

Y nos indica, en porcentaje, cuánto falta para que el condensador quede completamente descargado.

 

Tabla 1

 

Figura 2

 

En la Tabla 1 y en la Figura 2 se puede observar que para t=5\tau ya se puede considerar al condensador totalmente cargado o descargado según el caso, con un error menor al 1%.

 

 

Condensador. Tensión, corriente y energía.

Después de haber explicado en el post pasado el principio de funcionamiento del condensador eléctrico, en esta publicación vamos a explicar cómo es la tensión, la corriente y la energía en un condensador. Con estos conceptos claros, en publicaciones posteriores vamos a ver cómo es la respuesta de un condensador en un circuito ante diferentes señales de excitación.

 

 

Corriente en un condensador.

 

 

Ya vimos en el principio de funcionamiento de un condensador que la definición de capacidad es el cociente entre la carga almacenada dentro del mismo y la diferencia de potencial entre sus placas. En términos matemáticos:

 

C=\frac{Q}{V}

 

Por otra parte, sabemos que se define a la corriente eléctrica como la cantidad de carga neta que atraviesa un plano de circuito eléctrico por unidad de tiempo, tal como la corriente I atraviesa el plano A en la Figura 1. En términos matemáticos:

 

I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}

 

Figura 1

 

 

La corriente instantánea es la variación de carga eléctrica cuando la variación del tiempo es infinitésima.

 

i=\lim_{\Delta t\rightarrow0} \frac{\Delta Q}{\Delta t}

 

 

La definición anterior no es ni más ni menos que la derivada de la variación de la carga en función del tiempo. Matemáticamente:

 

i= \frac{d Q}{d t}

 

Volviendo a la definición de la capacidad de un condensador, podemos escribirla de la siguiente manera:

 

C.V=Q

 

Si derivamos en función del tiempo a ambos lados de la igualdad en la ecuación anterior, nos queda que:

 

 

\frac{d(C.V)}{{dt}}=\frac{dQ}{dt}

 

No obstante, C puede salir fuera de la derivada pues depende de las características constructivas del condensador, las cuales no varían con el tiempo.

 

C.\frac{dV}{dt}=\frac{dQ}{dt}

 

Y finalmente llegamos a la conclusión de que la corriente en un capacitor varía en forma proporcional a la derivada de la tensión entre sus placas.

 

 

i_{c}=C.\frac{dV_{c}}{dt}

 

 

Tensión en un condensador.

 

 

Si tomamos la ecuación de la corriente en un condensador deducida anteriormente y despejamos la tensión, concluiremos que la tensión en un condensador es proporcional a la integral de la corriente.

 

V_{c}=\frac{1}{C}.\int {i_{c}}dt

 

 

Energía almacenada en un condensador.

 

Se define a la potencia como a la cantidad de energía entregada o consumida por un sistema en un determinado período de tiempo.

 

P=\frac{\Delta W }{\Delta t}

 

Y la potencia instantánea:

 

p=\frac{d W }{d t}

 

Así resulta que la energía entregada o consumida por un sistema en un determinado lapso de tiempo resulta ser la integral de la potencia en función del tiempo.

 

W=\int {p(t)dt}

 

La potencia eléctrica en un componente eléctrico es el producto de la tensión entre sus bornes de conexión y la corriente que circula por los mismos. En el caso de nuestro condensador tenemos que:

 

P_{c}=V_{{c}}.I_{{c}}

 P_{{c}}=V_{{c}}.C.\frac{dV_{c}}{dt}

 P_{{c}}.dt=C.V_{{c}}.dV_{c}

\int { P_{{c}}.dt}=\int {C.V_{{c}}.dV_{c}}

 

C puede salir fuera de la integral por ser constante (pues ya dijimos que depende exclusivamente de sus características constructivas).

 

\int { P_{{c}}.dt}=C.\int {V_{{c}}.dV_{c}}

 

Y finalmente tenemos que la energía almacenada en un condensador es:

 

W_{{c}}=\frac{1}{2}C. (V_{c})^{2}

 

 

 

Condensador. Princípio de funcionamiento.

El condensador eléctrico, también llamado capacitor, es un dispositivo muy utilizado en electrónica para el almacenamiento de energía en forma de campo eléctrico que luego es liberada al circuito donde está conectado. Consiste básicamente en dos placas conductoras separadas entre sí una cierta distancia y rodeadas de un material aislante llamado dieléctrico. como muestra la Figura 1.

 

Figura 1.

 

 

Principio de funcionamiento

 

 

Supongamos que tenemos un condensador bien simple formado por dos placas de área A, separadas entre sí una distancia d y con una diferencia de potencial V entre ellas tal como muestra la Figura 2. Cada placa tiene una densidad de carga \sigma que produce un campo eléctrico \vec {E}. Recordemos que:

 

\sigma=\frac{Q}{A}

 

Siendo Q la carga total en cada placa.

Y también que:

 

E=\frac{V}{{d}}

 

Figura 2.

 

La placa cargada positivamente produce un campo eléctrico saliente de dicha placa (flechas rojas) mientras que la placa conectada al potencial negativo produce un campo entrante a la misma (flechas azules).

Figura 3.

 

Se puede observar que el campo eléctrico fuera de las placas queda anulado mientras que el que está entre las mismas se refuerza, como muestra la Figura 3.

Para poder explicar mejor el funcionamiento del capacitor, vamos a acudir a una ley de la electrostática: la Ley de Gauss.

 

\oint \vec{E}.d\vec{A}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}

 

Esta ley establece que el flujo del campo eléctrico sobre cualquier superficie cerrada es igual a la carga eléctrica neta contenida en el interior de dicha superficie dividida por la permitividad del vacío. Las variables de la ecuación anterior son la siguientes:

 

 \vec{E}=Vector campo eléctrico.

d\vec{A}=Vector diferencial área. Este vector es perpendicular a la superficie de Gauss y apunta siempre hacia afuera.

Q= Carga total, medida en Coulombs, dentro de la superficie de Gauss

\varepsilon_{{0}}= Permitividad del vacío ( 8,8541878176x10^{-12} \frac{C^{{2}}}{Nm^{{2}}} )

Figura 4.

 

Volviendo al cálculo de la capacidad de nuestro condensador, tenemos que elegir una superficie Gaussiana tal que “encierre” una de nuestras placas. Ya que en nuestro ejemplo las placas son redondas, entonces podemos elegir una superficie cilíndrica tal como aquella de línea discontínua roja que aparece en la Figura 4.

Aplicando la ley de Gauss, vamos a descomponer primero la superficie en sus dos “tapas” y en su superficie lateral:

 

\oint_{Sup}^{} \vec{E}.d\vec{A}=\int_{Tapa1}^{}\vec{E}.d\vec{A}+\int_{Tapa2}^{}\vec{E}.d\vec{A}+\int_{Lat.}^{}\vec{E}.d\vec{A}

 

Pero si tenemos en cuenta que en la superficie lateral de nuestro cilindro Gaussiano los vectores  \vec{E} y d\vec{A} son perpendiculares, y que el producto escalar producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero, entonces:

 

\int_{Lat.}^{}\vec{E}.d\vec{A}=0

 

Y también el campo  \vec{E} que atraviesa la “tapa” superior de nuestra superficie también es cero. Por lo tanto nos queda que:

 

\oint \vec{E}.d\vec{A}=\int_{TapaInf}^{} \vec{E}.d\vec{A}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}

E.A=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}

\frac{V}{d}.A=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}

 

Se define la capacidad de un condensador como el cociente entre la carga almacenada en él y la diferencia de potencial entre sus placas. Así que:

 

C=\frac{Q}{V}

C=\frac{\varepsilon_{0}.A}{d}

 

Esto significa que la capacidad de un condensador es directamente proporcional a la permitividad del dieléctrico empleado y a la superficie de sus placas, e inversamente proporcional a la distancia entre sus placas.

Si en lugar de vacío se hubiera utilizado otro material como dieléctrico, entonces la fórmula para calcular la capacidad será:

 

C=\frac{\varepsilon_{r}.\varepsilon_{0}.A}{d}

 

Donde \varepsilon_{r} es la permitividad relativa del dieléctrico empleado. Este coeficiente es adimensional, y es una medida de cuántas veces es mayor o menor la permitividad de este material con respecto a la del vacío. A continuación damos algunos valores de \varepsilon_{r} para algunos materiales, como referencia:

 

Vacío = 1

Aire= 1,0006

Papel= 2…2,5

Polietileno= 2,5

Mica= 3…7

Vidrio= 5…10

Agua= 80

 

 

Símbolo eléctrico de un condensador

 

 

El símbolo eléctrico de un condensador se representa con dos placas paralelas si este no tiene polaridad. Pero hay condensadores que tienen polaridad, en este caso la polaridad está marcada como muestra la Figura 5.

 

Figura 5.

 

También existen condensadores variables, en donde el valor de capacidad se puede ajustar manualmente, y se simbolizan como indica el dibujo de más a la derecha en la Figura 5.

 

Más adelante vamos a seguir hablando de condensadores, sus propiedades y su comportamiento en circuitos.

 

 

 

Teorema de Thevenin. Teorema de Norton.

A menudo, cuando analizamos un circuito electrónico, nos encontramos en la situación de que es muy complicado poder calcular una corriente o una caída de tensión entre dos puntos de dicho circuito.

Estos dos teoremas que voy a presentar a continuación simplifican mucho el análisis de circuitos, ya que permiten sustituir nuestro circuito bajo análisis por otro equivalente formado solamente por una impedancia y una fuente de tensión o corriente.

 

Vamos con el primero:

 

Teorema de Thèvenin

 

Este teorema establece que:

 

“Todo circuito lineal activo con dos terminales de salida puede ser sustituído por una impedancia en serie con una fuente de tensión”.

 

Dicho de otra manera, si tenemos un circuito complejo, formado por impedancias y fuentes de tensión y/o corriente y con dos terminales de salida, éste puede ser sustituido para fines de cálculo por otro formado por una impedancia en serie con una fuente de tensión. La Figura 1 nos muestra un ejemplo de eso.

Figura 1

 

El primer paso para hallar nuestra impedancia equivalente es pasivar todas las fuentes de tensión y corriente del circuito. Para eso tenemos que tener en cuenta que :

 

  • Las fuentes de tensión se pasivan reemplazándolas por un cortocircuito.
  • Las fuentes de corriente se pasivan reemplazándolas por un circuito abierto.

 

En la Figura 2 se puede ver cómo nos queda el circuito bajo análisis luego de haber pasivado todas las fuentes.

Figura 2

 

La resistencia equivalente de Thèvenin, que llamaremos R_{Th}, es la que se puede medir entre los terminales de salida A y B.

Vamos agrupando resistencias a fin de simplificar el cálculo. Primero agrupamos R_{1} con R_{3} y la llamamos {R_{1}}^{'}

{R_{1}}^{'}=R_{{1}}+R_{{3}}

 

Figura 3

 

Luego podemos agrupar {R_{1}}^{'} con {R_{4}}^{}

 

{R_{4}}^{'}={R_{1}}^{'}//R_{{4}}

{R_{4}}^{'}=\frac{{R_{1}}^{'}.{R_{4}}}{{R_{1}}^{'}+{R_{4}}}

Figura 4

 

{R_{2}}^{'}=R_{{2}}+{R_{4}}^{'}

Figura 5

 

Y Finalmente:

 

R_{{Th}}=R_{{7}}+(R_{{2}}^{'}//R_{{5}})

 

A continuación vamos a calcular la tensión de Thèvenin, a la que llamaremos V_{{Th}}. Para ello tenemos que trabajar con el circuito original, sin sus fuentes pasivadas. V_{{Th}} es la tensión que se mide entre los terminales de salida. Para calcularla podemos aplicar las leyes de Ohm y de Kirchoff que vimos anteriormente.

Figura 6

 

V_{{Th}}=V_{{AB}}=V_{{R5}}

V_{R5}=I_{2}.R_{5}

.

Está claro que lo que nos interesa calcular es I_{2}. Vamos a utilizar para ello el método de las mallas.

.

I_{2}=I_{1}+I_{3}

 

V_{{1}}+V_{{R4}}=V_{{R1}}+V_{{R3}}

V_{{2}}=V_{{R2}}+V_{{R4}}+V_{{R5}}

.

V_{{1}}-I_{{3}}.R_{{4}}=I_{{1}}.(R_{{1}}+R_{{3}})

V_{{2}}=I_{{1}}.(R_{{1}}+R_{{3}})+I_{{3}}.R_{{4}}

.

V_{{1}}-I_{{3}}.R_{{4}}=(I_{{2}}-I_{{3}}).(R_{{1}}+R_{{3}})

V_{{2}}=I_{{2}}.(R_{{2}}+R_{{5}})+I_{{3}}.R_{{4}}

.

V_{{1}}=I_{{2}}.(R_{{1}}+R_{{3}})+I_{{3}}.(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}})

V_{{2}}=I_{{2}}.(R_{{2}}+R_{{5}})+I_{{3}}.R_{{4}}

.

V_{{1}}-V_{{2}}.\frac{R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}}}{R_{{4}}}=I_{{2}}.(R_{{1}}+R_{{3}})-I_{{2}}.\frac{(R_{{2}}+R_{{5}}).(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}})}{R_{{4}}}

V_{{1}}.R_{{4}}-V_{{2}}.(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}}})=I_{{2}}.[R_{{4}}.(R_{{1}}+R_{{3}})-(R_{{2}}+R_{{5}}).(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}})}]

.

I_{{2}}=\frac{{V_{{1}}.R_{{4}}-V_{{2}}.(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}}})}{R_{{4}}.(R_{{1}}+R_{{3}})-(R_{{2}}+R_{{5}}).(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}})}}}

.

Y finalmente

.

V_{Th}=I_{2}.R_{5}

.

 

Ahora vamos con el segundo teorema:

 

 

Teorema de Norton:

 

 

Este teorema establece que:

 

“Todo circuito lineal activo con dos bornes de salida puede ser sustituído por una impedancia en paralelo con una fuente de corriente”.

 

En el circuito de ejemplo analizado anteriormente, el circuito equivalente de Norton queda como muestra la Figura 7.

Figura 7

 

La resistencia de Norton, que llamaremos  R_{N}  se calcula exactamente igual que la impedancia de Thèvenin, por lo que no lo haremos aquí.

 

R_{N}=R_{Th}

 

La corriente de Norton se calcula cortocircuitando los bornes de salida y calculando la corriente que circula entre ellos, en nuestro caso I_{{6}}, tal como muestra la Figura 8.

Figura 8

 

En los nodos del circuito observamos que:

 

Nodo U \Rightarrow I_{{2}}=I_{{3}}+I_{{1}}

Nodo V \Rightarrow I_{{1}}=I_{{4}}+I_{{6}}

Nodo W \Rightarrow I_{{5}}=I_{{3}}+I_{{4}}

Nodo X \Rightarrow I_{{2}}=I_{{5}}+I_{{6}}

 

Ahora, para calcular I_{{6}} podemos usar el método de las mallas.

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}+I_{{3}}.R_{{4}}=I_{{1}}.(R_{1}+R_{3})

Malla II \Rightarrow V_{{2}}+I_{{2}}.R_{{2}}+I_{{3}}.R_{{4}}+I_{{5}}.R_{{5}}

Malla III \Rightarrow I_{{5}}.R_{{5}}-I_{{6}}.R_{{7}}=0

 

De la Malla III se desprende que:

 

I_{{5}}=I_{6}\frac{R_{7}}{R_{5}}

 

Vamos a trabajar ahora con las Mallas I y II

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=I_{{1}}.(R_{1}+R_{3})-I_{{3}}.R_{{4}}

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=I_{{2}}.R_{2}+I_{3}R_{4}+I_{{5}}.R_{{5}}

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=(I_{4}+I_{6}).(R_{1}+R_{3})-(I_{5}-I_{4}).R_{4}

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=(I_{5}+I_{6}).R_{2}+(I_{5}-I_{4}).R_{4}+I_{{5}}.R_{{5}}

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=I_{4}.(R_{1}+R_{3})+I_{{6}}.(R_{1}+R_{3})-I_{{5}}.R_{{4}}+I_{{4}}.R_{{4}}

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=I_{5}.R_{2}+I_{{6}}.R_{2}+I_{{5}}.R_{{4}}-I_{{4}}.R_{{4}}+I_{{5}}.R_{{5}}

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=I_{4}.(R_{1}+R_{3}+R_{4})+I_{{6}}.(R_{1}+R_{3})-I_{{6}}.\frac{R_{7}}{R_{5}}.R_{{4}}

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=-I_{4}.R_{4}+I_{{6}}.R_{2}+I_{{6}}.(R_{{2}}+R_{{4}}+R_{{6}}).\frac{R_{7}}{R_{5}}

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=I_{4}.(R_{1}+R_{3}+R_{4})+I_{{6}}.(R_{1}+R_{3}-\frac{R_{7}}{R_{5}}.R_{{4}})

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=-I_{4}.R_{4}+I_{{6}}.(R_{2}.\frac{R_{7}}{R_{5}}+R_{2}+R_{4}+R_{5}).\frac{R_{7}}{R_{5}}

 

Ahora mutiplicamos por \frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}} a ambos lados del igual en la ecuación de la Malla I

 

Malla I \Rightarrow \frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}.V_{1}=I_{4}R_{4}+I_{6}.(\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}).(R_{1}+R_{3}-\frac{R_{7}.R_{4}}{R_{5}})

 

Y si sumamos la ecuación anterior con la última ecuación de la Malla II que desarrollamos, conseguimos eliminar I_{{4}} y sólo queda la corriente I_{{6}}, que es la que queremos conocer.

 

Malla I + Malla II

 

 \frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}.V_{1}+V_{2}=I_{6}.(\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}).(R_{1}+R_{3}-\frac{R_{7}.R_{4}}{R_{5}})+I_{6}.(R_{2}.\frac{R_{7}}{R_{5}}+R_{2}+R_{4}+R_{5}).\frac{R_{7}}{R_{5}}

 

I_{6}=\frac{{\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}.V_{1}+V_{2}}}{(\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}).(R_{1}+R_{3}-\frac{R_{7}.R_{4}}{R_{5}})+(R_{2}.\frac{R_{7}}{R_{5}}+R_{2}+R_{4}+R_{5}).\frac{R_{7}}{R_{5}}}

 

Listo. Ya tenemos la corriente de Norton y podemos entonces armar el circuito equivalente.

 

Hay que señalar que estos dos teoremas son duales. Esto quiere decir que se puede pasar de un circuito equivalente Thèvenin a uno Norton y viceversa. Las fórmulas para pasar de un circuito al otro son las siguientes:

 

R_{{Th}}=R_{{N}}

I_{{N}}=\frac{ {V_{Th}}} {R_{Th} }

 

 

 

Conclusión

 

A veces nos podemos encontrar con un circuito muy complejo para analizar, y en donde tenemos que calcular una tensión o corriente  en cierto punto del mismo, y las ecuaciones para hallar la incógnita que estamos buscando se hacen muy largas y complejas. Gracias a los teoremas que acabamos de ver aquí, el cálculo se puede facilitar enormemente al tomar una parte de nuestro circuito y sustituirla por una resistencia y una fuente.

 

Estos dos teoremas son muy utilizados en análisis de circuitos. Mas adelante, con toda seguridad, vamos a utilizarlos.

 

 

 

Principio de superposición.

Aquí voy a explicar un método muy útil para analizar circuitos: el Principio de Superposición. Antes de continuar es importante dejar en claro que este principio sólo puede utilizarse en circuitos con componentes lineales, como resistencias. Esto es: en dichos componentes, la relación entre la corriente que circula por él y la tensión entre sus terminales es una constante. En términos matemáticos:

 

\frac{V}{i}=a

a=cte.

¿Qué es lo que establece el principio de superposición?

Que si tenemos un circuito formado por componentes lineales y fuentes de tensión y/o corriente, la tensión y/o corriente en cada uno de los componentes del circuito es la sumatoria de los efectos de cada fuente de manera independiente.

En otras palabras, si queremos aplicar el principio de superposición a un circuito formado por impedancias y fuentes de tensión y/o corriente, y queremos calcular el valor de una tensión o corriente en algún punto del circuito, entonces pasivamos todas las fuentes menos una y calculamos dicha tensión o corriente. Este será un resultado parcial.

Luego hacemos lo mismo con otra fuente del circuito y también hacemos otro cálculo parcial. Seguimos así con todas las fuentes del circuito. El resultado final será la sumatoria de todos los resultados parciales obtenidos anteriormente.

Figura 1

 

Vamos a entender mejor todo esto con un ejemplo. En la Figura 1 tenemos un circuito para analizar, en donde nos interesa calcular I_{R4}. Esta corriente va a estar influída por la fuente de corriente I y las fuentes de tensión V_{1} y V_{2}, por lo tanto podemos decir que:

I_{R4}={I_{R4}}^{'}+{I_{R4}}^{''}+{I_{R4}}^{'''}

En donde:

{I_{R4}}^{'}= porción de I_{R4} producida por la presencia de la fuente de corriente I.

{I_{R4}}^{''}= porción de I_{R4} producida por la presencia de la fuente de tensión V_{1}.

{I_{R4}}^{'''}= porción de I_{R4} producida por la presencia de la fuente de tensión V_{2}.

 

 El sentido de circulación de I_{R4} fue elegido de manera arbitraria. Podríamos haber elegido que circulara en el otro sentido sin que ello afecte el resultado final. Lo importante es que luego de adoptar su sentido de circulación lo respetemos al momento de hacer los cálculos. Si el valor final de I_{R4} es negativo significa que su sentido de circulación es opuesto al que adoptamos.

Vamos a comenzar ahora con los cálculos.

Tenemos que pasivar todas las fuentes menos una, para poder calcular el aporte de dicha fuente a la corriente que queremos calcular. Y así hacemos con todas las fuentes.

Para pasivar una fuente de tensión, se la sustituye por un circuito abierto.

Para pasivar una fuente de corriente, se la sustituye por un circuito abierto.

Empezamos calculando {I_{R4}}^{'}, pasivando V_{1} y V_{2} y dejando solamente I. El circuito resultante queda como en la Figura 2.

Figura 2

 

Aquí podemos ver que R_{4} y la suma de R_{2} y R_{5} forman un divisor de corriente, entonces:

 

{I_{R4}}^{'}=I.\frac{R_{2}+R_{5}}{R_{2}+R_{4}+R_{5}}

 

Pasemos ahora al cálculo de {I_{R4}}^{''}. Para eso pasivamos todas las fuentes menos V_{1} y el circuito queda como en la Figura 3. Se puede ver que al pasivar la fuente de corriente el circuito queda abierto en esa malla y por lo tanto:

 

{I_{R4}}^{''}=0

Figura 3

 

Pasemos ahora al cálculo de {I_{R4}}^{'''}. Esta corriente es el aporte de V_{2} a I_{R4} tal como muestra la Figura 4.

Figura 4

 

Esta corriente pude calcularse en nuestro circuito sin mayores inconvenientes.

 

{I_{R4}}^{'''}=\frac{V_{2}}{R_{2}+R_{4}+R_{5}}

 

Finalmente, y haciendo la sumatoria de nuestras corrientes parciales obtenemos I_{R4}.

 

I_{{R4}}=I.\frac{R_{2}+R_{5}}{R_{2}+R_{4}+R_{5}}+\frac{V_{2}}{R_{2}+R_{4}+R_{5}}

 

Conclusión:

 

Este principio simplificó mucho el cálculo de la corriente que deseábamos conocer. Pero hay que tener en cuenta que sólo puede aplicarse a circuitos con componentes lineales, por lo tanto no puede usarse siempre.

Para otros tipos de circuitos no lineales es mejor usar el Método de los nodos y de las mallas.

 

Teorema de Kennelly

Supongamos que nos encontramos en la siguiente situación:

Tenemos un circuito como el de la Figura 1 y necesitamos calcular la resistencia entre los terminales A y B.

Figura 1

 

Como podemos ver, resulta muy complicado agrupar resistencias como para  simplificar nuestro circuito y así poder calcular el valor de resistencia total.

Afortunadamente un ingeniero inglés nacido en la India, Arthur Edwin Kennelly (1861-1939) desarrolló un teorema que nos permite simplificar el análisis de circuitos. Este teorema es conocido como el Teorema de Kenelly, pero también como Transformación Estrella-Triángulo o como Transformación Te-Delta.

Consiste básicamente en que, si tenemos un circuito con cuatro terminales de conexión y tres resistencias (pueden ser impedancias también) formando una “pi” como muestra la Figura 2, entonces podemos sustituirlo por otro circuito de tres resistencias en forma de “T” y viceversa. Como a veces es más facil analizar un circuito que el otro, entonces esta transformación permite pasar fácilmente de una configuración de circuito para la otra facilitando el análisis.

Figura 2

 

La condición que se debe cumplir para que ambos circuitos sean equivalentes es que las resistencias (o impedancias) medidas entre los terminales de conexión sean iguales entre sí. En términos matemáticos:

 

R_{{AB}}=R_{{A'B'}}

R_{{AC}}=R_{{A'C'}}

R_{{BC}}=R_{{B'C'}}

 

O lo que es lo mismo:

R_{{v}}//(R_{u}+R_{w})=R_{{y}}+R_{{z}}

R_{{u}}//(R_{v}+R_{w})=R_{{y}}+R_{{x}}

R_{{w}}//(R_{u}+R_{v})=R_{{z}}+R_{{x}}

 

Vamos ahora a desarrollar un poco más las ecuaciones anteriores.

 

\frac{R_{{v}}.(R_{u}+R_{w})}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{y}}+R_{{z}}

\frac{R_{{u}}.(R_{v}+R_{w})}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{y}}+R_{{x}}

\frac{R_{{w}}.(R_{u}+R_{v})}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{z}}+R_{{x}}

 

\frac{R_{{v}}.R_{u}+R_{{v}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{y}}+R_{{z}}

\frac{R_{{u}}.R_{v}+R_{{u}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{y}}+R_{{x}}

\frac{R_{{w}}.R_{u}+R_{{w}}.R_{v}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{z}}+R_{{x}}

 

Si observamos con atención las tres ecuaciones anteriores, podemos ver que:

 

R_{{x}}=\frac{R_{{u}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

R_{{y}}=\frac{R_{{u}}.R_{v}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

R_{{z}}=\frac{R_{{v}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

 

Que son las resistencias incógnitas que queríamos conocer.

Si por el contrario tenemos que pasar de un circuito “T” a uno “pi” entonces las incógnitas serán las resistencias R_{u}R_{v} y R_{w}. Vamos a deducir las fórmulas para encontrarlas aprovechando las ecuaciones anteriores. Para eso, vamos a multiplicar entre sí R_{x}R_{y} y R_{z}

 

R_{{x}}.R_{{y}}=\frac{R_{u}^{2}.R_{v}.R_{w}}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

R_{{y}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}.R_{v}^{2}.R_{w}}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

R_{{x}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}.R_{v}.R_{w}^{2}}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

 

Y ahora sumamos entre sí las tres ecuaciones anteriores.

 

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}^{2}.R_{v}.R_{w}+R_{u}.R_{v}^{2}.R_{w}+R_{u}.R_{v}.R_{w}^{2}}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}.R_{v}.R_{w}.(R_{u}+R_{v}+.R_{w})}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}.R_{v}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

En la ecuación anterior, del lado derecho del igual, podemos sustituir por el equivalente a R_{x}R_{y} o R_{z} según la resistencia que queramos calcular.

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=R_{x}.R_{v}

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=R_{y}.R_{w}

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=R_{z}.R_{u}

 

Y entonces ya estamos en condiciones de calcular R_{u}R_{v} y R_{w}.

 

R_{u}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{z}}

R_{v}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{x}}

R_{w}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{y}}

 

Así, en el circuito de la Figura 1 podemos aplicar esta transformación con las resistencias R_{{1}}, R_{{2}} y R_{{3}}. Es importante aclarar que también podríamos haber aplicado esta transformación con las resistencias R_{{3}}, R_{{4}} y R_{{5}} sin que por ello se modifique el valor final de R_{{AB}}. En la Figura 3 está el circuito con la transformación aplicada. Obsérvese cómo se simplifica enormemente el cálculo de R_{{AB}}.

Figura 3

 

Siendo que:

 

R_{{x}}=\frac{R_{{1}}.R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}

R_{{y}}=\frac{R_{{1}}.R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}

R_{{z}}=\frac{R_{{3}}.R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}

 

Y finalmente la resistencia total del circuito es:

 

R_{{AB}}=\frac{(R_{{y}}+R_{4}).(R_{z}+R_{5})}{R_{4}+R_{5}+R_{y}+R_{z}}+R_{{x}}

 

Conclusión:

 

Las ecuaciones para pasar de un circuito al otro están reescritas a continuación.

 

Para pasar de un circuito “Pi” a uno “T”:

R_{{x}}=\frac{R_{{u}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

R_{{y}}=\frac{R_{{u}}.R_{v}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

R_{{z}}=\frac{R_{{v}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

 

Para pasar de un circuito “T” a uno “Pi”:

R_{u}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{z}}

R_{v}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{x}}

R_{w}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{y}}

Como se pudo ver, usar este teorema simplifica mucho el análisis de circuitos. Además las ecuaciones para calcular las resistencias no son complicadas, por lo que se recomienda usarlo cada vez que se necesite.

 

 

Agrupación serie-paralelo de resistencias.

Para realizar estas demostraciones teóricas es necesario entender muy bien la ley de Ohm y las leyes de Kirchoff, porque las vamos a usar. Si alguien tiene dudas con estas leyes, recomiendo entenderlas bien antes de continuar aquí.

Aclarado esto, vamos a demostrar cómo resultan las agrupaciones de resistencias en serie y en paralelo.

 

Agrupación serie:

 

En la Figura 1 tenemos un circuito serie de “n” resistencias. Todo el circuito está alimentado por la tensión V, provista por una fuente. La corriente I atraviesa todo el circuito, produciendo en cada resistencia una caída de tensión, a las que llamamos V_{{1}}, V_{{2}}, V_{{3}}, … hasta V_{{n}}.

Figura 1

 

De acuerdo a la ley de las tensiones de Kirchoff, la sumatoria de todas las caídas de potencial a lo largo de un circuito cerrado es igual a cero. Como en nuestro circuito sólo tenemos una fuente de energía y el resto son componentes pasivos, entonces podemos plantear la siguiente ecuación:

 

V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+...+V_{{n}}

 

Aplicando la ley de Ohm, y conociendo el valor de cada una de las resistencias, podemos hallar la relación entre la tensión que cae en cada resistencia y la corriente que circula por las mismas. Si tenemos en cuenta que la corriente que circula por el circuito es igual para todas las resistencias entonces podemos escribir:

 

V=I.R_{1}+I.R_{2}+I.R_{3}+...+I.R_{{n}}

 

Podemos sacar la corriente I como factor común y pasarla al otro lado del igual dividiendo.

 

\frac{V}{I}=R_{{1}}+R_{2}+R_{{3}}+...+R_{{n}}

 

V es el valor de tensión suministrado por la batería al circuito, e I es la corriente que circula por todo el circuito. Por ley de Ohm, el cociente entre ambas magnitudes resulta ser la resistencia total del circuito, a la que llamaremos R_{S}.

 

\frac{V}{{I}}=R_{{S}}

 

Entonces podemos concluir que la agrupación de resistencias en serie resulta ser:

 

R_{S}=R_{{1}}+R_{2}+R_{{3}}+...+R_{{n}}

 

O, escrito de un modo más general:

 

R_{S}=\sum_{i=1}^{n} R_{{i}}

 

Siendo R_{{i}} cada una de las resistencias que componen el circuito serie.

La conclusión a la que llegamos es la siguiente:

 

“Cuando en un circuito hay dos o más resistencias conectadas en serie entre sí, la resistencia equivalente de agrupar a las mismas resulta ser la suma de los valores de cada una de las resistencias de manera individual. Esta resistencia equivalente tendrá un valor mayor que la mayor resistencia del circuito”.

 

 

 

Agrupación paralelo:

 

 

En el circuito de la Figura 2 tenemos “n” resistencias conectadas en paralelo entre sí. Todo el circuito está alimentado por la tensión V, suministrada por una batería. Como consecuencia de esto, por toda la agrupación de resistencias en paralelo circula la corriente total I.

De acuerdo a la ley de las corrientes de Kirchoff, la corriente total Iserá la suma total de las corrientes que circulan por cada una de las resistencias:

Figura 2

I=I_{1}+I_{{2}}+I_{{3}}+...+I_{{n}}

 

También sabemos que cada una de las resistencias está sometida al mismo potencial, o sea V. Por lo tanto ya estamos en condiciones de aplicar la ley de Ohm.

 

I=\frac{V}{R_{1}}+\frac{V}{R_{2}}+\frac{V}{R_{3}}+...+\frac{V}{R_{n}}

 

Entonces podemos pasar V dividiendo para el otro lado del igual.

 

\frac{I}{V}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}+...+\frac{1}{R_{n}}

 

De acuerdo a la ley de Ohm, el cociente entre una tensión eléctrica y una corriente da como resultado una resistencia. Por lo tanto, si a la tensión V que es la que alimenta a todo el circuito la dividimos por la corriente I, que es la corriente total que circula por todo nuestro circuito, obtendremos como resultado la resistencia total del mismo, que en nuestro caso es la agrupación en paralelo de todas nuestras resistencias, y la llamaremos R_{p}.

 

\frac{1}{R_{p}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}+...+\frac{1}{R_{n}}

 

Que da la relación buscada entre las resistencias en paralelo y la resistencia equivalente total.

Si escribimos esta fórmula de manera más general resulta:

 

R_{p}=\frac{1}{ \sum_{{i=1}}^{n}\frac{1}{ R_{i}}}

 

Así, en el caso de resistencias en paralelo podemos concluir que:

 

“Cuando en un circuito hay dos o más resistencias que están en paralelo entre sí, la recíproca de la resistencia total, que resulta de agrupar dichos elementos, se calcula como la sumatoria de las recíprocas de las resistencias en cuestión. Esta resistencia total tendrá un valor menor que la resistencia de menos valor del conjunto”.

 

 

Método de los nodos. Método de las mallas.

En esta publicación de hoy voy a hablar de una aplicación práctica de las Leyes de Kirchoff y de la Ley de Ohm analizando un circuito.

Más precisamente, voy a hablar del método de los nodos y del método de las mallas analizando el circuito de ejemplo de la Figura 1.

Es importante entender bien cómo armar las ecuaciones de funcionamiento del circuito para así poder comprender los temas que vengan a continuación. Aquellos que se hayan quedado con dudas, pueden consultarme en la parte de comentarios.

Bien, allá vamos…

Sea el circuito eléctrico de la Figura 1, constituido únicamente por resistencias y fuentes de tensión.

 

circuito-metodo-de-los-nodos
Figura 1

 

Método de los nodos

 

Antes de comenzar cualquier análisis, vamos a adoptar un sentido de circulación de corriente em cada rama. No importa si el sentido elegido es para un lado o para el otro. Lo importante es adoptarlo y respetarlo en el momento de plantear las ecuaciones de funcionamiento. Fue así como hice en la elección de los sentidos de las corrientes I_{{1}} a I_{{6}}.

Haciendo uso de la Ley de las corrientes de Kirchoff:

 

Nodo A \Rightarrow\ I_{{2}}=I_{{1}}+I_{{3}}

Nodo B \Rightarrow\ I_{{4}}=I_{{1}}+I_{{6}}

Nodo C \Rightarrow\ I_{{2}}=I_{{4}}+I_{{5}}

Nodo D \Rightarrow\ I_{{3}}=I_{{5}}+I_{{6}}

 

 

Aquí se observa que tenemos que tener una ecuación por cada nodo. En nuestro circuito de ejemplo tenemos cuatro ecuaciones.

Luego tenemos que tener en cuenta que cada nodo tiene un potencial asociado. Así que en este circuito tenemos los potenciales que llamaremos V_{{A}}, V_{{B}}, V_{{C}} y V_{{D}}.

Ya estamos en condiciones de escribir la ecuación de cada rama:

 

V_{{B}}-V_{{A}}=I_{{1}}.R_{{1}}-V_{{1}}

V_{{A}}-V_{{C}}=I_{{2}}.R_{{2}}

V_{{D}}-V_{{A}}=I_{{3}}.R_{{3}}

V_{{B}}-V_{{C}}=0

V_{D}-V_{C}=V_{2}

V_{D}-V_{B}=-I_{6}.R_{{4}}

 

Una aclaración importante es que la corriente siempre va a circular del extremo de mayor potencial hacia el de menor potencial. Por eso en la última ecuación la corrente I_{6} es negativa.

Listo, ahora ya estamos em condições de hacer simplificaciones.

 

V_{B}=V_{C}

V_{2}=-I_{6}.R_{{4}}       \Rightarrow       I_{6}=-\frac{V_{2}}{R_{4}}

V_{C}-V_{A}=I_{{1}}.R_{{1}}-V_{{1}}=-I_{{2}}.R_{{2}}      \Rightarrow       V_{1}=I_{{1}}.R_{{1}}+I_{{2}}.R_{{2}}

V_{D}-V_{{A}}-V_{{C}}+V_{{A}}=I_{{3}}.R_{{3}}+I_{{2}}.R_{{2}}=V_{{2}}      \Rightarrow     V_{2}=I_{{3}}.R_{{3}}+I_{{2}}.R_{{2}}

 

Ahora vamos a utilizar la ecuación del nodo A:

 

V_{1}=I_{{1}}.R_{{1}}+(I_{{1}}+I_{3}).R_{{2}}        \Rightarrow        V_{1}=I_{{1}}.(R_{{1}}+R_{{2}})+I_{3}.R_{{2}}

V_{2}=I_{{3}}.R_{{3}}+(I_{{1}}+I_{3}).R_{{2}}       \Rightarrow        V_{2}=I_{{1}}.R_{{2}}+I_{{3}}(R_{3}+R_{{2}})

 

Ya podemos calcular una de las corrientes. De la segunda ecuación:

 

\frac{V_{2}-I_{3}.(R_{3}+R_{2})}{R_{2}}=I_{{1}}

 

Y la sustituimos en la primera:

 

V_{{1}}=\frac{V_{2}-I_{3}.(R_{3}+R_{2})}{R_{2}}.(R_{1}+R_{2})+I_{{3}}.R_{{2}}

V_{{1}}=\frac{V_{2}}{R_{2}}.(R_{1}+R_{2})-\frac{I_{3}.(R_{3}+R_{2}).(R_{1}+R_{2})}{R_{2}}+I_{{3}}.R_{{2}}

I_{3}(\frac{(R_{3}+R_{2}).(R_{1}+R_{2})}{{R_{2}}}-R_{2})=V_{{2}}.\frac{(R_{1}+R_{2})}{R_{2}}-V_{{1}}

I_{{3}}((R_{3}+R_{2})(R_{1}+R_{2})-{R_{2}}^2)=V_{{2}}.(R_{1}+R_{2})-V_{{1}}R_{{2}}

 

I_{{3}}=\frac{V_{2}(R_{1}+R_{2})-V_{1}R_{2}}{R_{1}R_{3}+R_{1}R_{2}+R_{3}R_{2}}

 

Y a partir de aquí, I_{{1}} e I_{{2}}:

 

I_{{2}}=\frac{V_{2}-I_{3}R_{3}}{R_{2}}                                    I_{{1}}=\frac{V_{1}-I_{2}R_{2}}{R_{1}}

 

Ya conocemos los valores de I_{6}, I_{3}I_{2} e I_{1}. Utilizando las ecuaciones de los nodos podremos calcular el resto de las corrientes. Así, con la ecuación del Nodo B podemos calcular I_{4}. Y finalmente podemos calcular la corriente faltante, I_{5}, usando las ecuaciones de los nodos C y D.

Una cosa importante es que si al calcular una corriente el valor obtenido es negativo, significa que el sentido de circulación de la misma es opuesto al que adoptamos.

 

Método de las mallas.

 

En este caso, vamos a necesitar adoptar un sentido de análisis para cada malla. Para eso están las flechas circulares marcadas con I, II y III. El sentido de ellas puede ser horario o antihorario, la elección del sentido es libre, igual que la elección de los sentidos de circulación de las corrientes de cada rama. Lo importante aquí también es respetar los sentidos escogidos y plantear las ecuaciones de las mallas respetándolos.      

Para el circuito de la Figura 1, vamos a tener 3 ecuaciones.

 

Malla I       \Rightarrow       V_{{1}}-I_{{1}}R_{{1}}-I_{{2}}R_{{2}}=0

Malla II      \Rightarrow      -V_{{2}}+I_{{2}}R_{{2}}+I_{{3}}R_{{3}}=0

Malla III    \Rightarrow       V_{{2}}+I_{{6}}R_{{4}}=0

 

A partir de la ecuación de la Malla III, ya podemos calcular directamente I_{{6}}.

Ya en las Mallas I y II se forman las dos ecuaciones que analizamos antes por el método de los nodos, y de las cuales conseguimos los valores de I_{{1}}, I_{{2}} e I_{{3}}.

A partir de ahora, haciendo uso de la primera ley de Kirchoff en cada nodo como fue visto en el método anterior, podremos calcular todas las corrientes restantes. 

La pregunta que el lector puede estar haciéndose es: “¿Cuándo usar el método de los nodos y cuándo el método de las mallas?”. La respuesta será: “Aquel que resulte más simple. Cualquiera sea el método que se utilice, los resultados tienen que ser los mismos”.