Condensador. Carga y descarga.

En el post anterior estudiamos cómo varía la corriente, la tensión y la energía en un capacitor. Y encontramos que la corriente varía en forma proporcional a la derivada de la tensión en función del tiempo. Ahora ¿Cómo varían la carga y la descarga de un condensador en función del tiempo?

 

Figura 1.

 

Para analizar este fenómeno vamos a utilizar un circuito bien simple, como el de la Figura 1, formado por un condensador C en serie con una resistencia R y alimentado por una fuente de tensión contínua V. La llave S tiene dos posiciones. En la posición 1 vamos a estudiar la carga del condensador. Luego vamos a estudiar la descarga del condensador a través de la resistencia cuando la llave está en la posición 2.

Durante la carga vamos a asumir que el condensador está inicialmente descargado, y durante la descarga vamos a asumir que el condensador quedó previamente cargado.

 

 

Carga de un condensador

 

 

Empezaremos el análisis con llave S está en la posición 1. Así el condensador se carga a través de la resistencia R.

 

De acuerdo a la Ley de las tensiones de Kirchoff:

 

V=V_{{R}}+V_{{C}}

V=R.I+V_{{C}}

V=R.C.\frac{d.V_{C}}{{dt}}+V_{C}

V-V_{C}=R.C.\frac{d.V_{C}}{{dt}}

\frac{dt}{RC}=\frac{dV_{C}}{V-V_{C}}

\int {\frac{dt}{RC}}=\int {\frac{dV_{C}}{V-V_{C}}}

 

Después de integrar una cualquier función, hay que sumarle una constante de integración, que en nuestro caso llamamos k.

Luego hay que hallar el valor de k. Éste depende de las condiciones físicas en las cuales se desarrollan nuestros cálculos.

En el caso que estamos analizando, cuando t=0 entonces V_{C}=0 porque se supone que el condensador está inicialmente descargado.

 

 

\frac{t}{RC}=-ln(V-V_{C})+k

0=-ln(V-V_{C})+k

k=ln(V)

\frac{t}{RC}=-ln(V-V_{C})+ln(V)

\frac{-t}{RC}=ln(\frac{V-V_{C}}{V})

V.e^{\frac{-t}{RC}}=V-V_{C}}

 

Y fnalmente la ecuación de carga del condensador es:

 

V_{C}}=V.(1-e^{\frac{-t}{RC}})

 

 

 

Descarga de un condensador

 

 

Con la llave en la posición 2

 

V_{R}}+V_{C}}=0

V_{R}}=-V_{C}}

I.R=-V_{C}}

R.C.\frac{dV_{C}}{dt}=-V_{{C}}

\frac{dV_{C}}{V_{C}}=-\frac{dt}{RC}

 

Aquí, igual que en el análisis de la carga del capacitor, a la función integrada tenemos que sumarle una constante de integración k. Pero en este caso el condensador no va a estar descargado cuando t=0, sino que va a tener una tensión residual que llamaremos V_{i}.

 

ln(V_{C})+k=\frac{-t}{RC}

ln(V_{i})+k=0

k=-ln(V_{i})

ln(V_{C})-ln(V_{i})=\frac{-t}{RC}

ln(\frac{V_{C}}{V_{i}})=\frac{-t}{RC}

 

Finalmente la ecuación de descarga del capacitor queda así:

 

V_{C}=V_{i}.e^{\frac{-t}{RC}}

 

 

El producto RC es la constante de tiempo en las ecuaciones de carga y descarga vistas anteriormente. Esta constante se simboliza con la letra griega tau (\tau).

En la Tabla 1 podemos ver cómo es la relación entre la tensión de fuente y la del condensador (para el caso de la carga), cuando \tau varía entre 0 y 10. También podemos ver cómo varía la relación, en el caso de la descarga, entre la tensión previamente cargada en el condensador y la instantánea, para los mismos valores de \tau que en la carga.

Se puede observar que tanto en la carga como en la descarga, la variación de tensión es exponencial. Eso está dibujado en las curvas de la Figura 2.

El Error porcentual de la Tabla 1, en el caso de la carga, se define como:

 

e_{{%}}=(1-\frac{V_{C}}{V}).100%

 

y es una medida porcentual de cuánto le falta a V_{C} para alcanzar el valor de V.

Para la descarga, al error porcentual lo definimos de la siguiente manera:

 

e_{%}=\frac{V_{C}}{V_{i}}.100%

 

Y nos indica, en porcentaje, cuánto falta para que el condensador quede completamente descargado.

 

Tabla 1

 

Figura 2

 

En la Tabla 1 y en la Figura 2 se puede observar que para t=5\tau ya se puede considerar al condensador totalmente cargado o descargado según el caso, con un error menor al 1%.

 

 

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