Método de los nodos. Método de las mallas.

En esta publicación de hoy voy a hablar de una aplicación práctica de las Leyes de Kirchoff y de la Ley de Ohm analizando un circuito.

Más precisamente, voy a hablar del método de los nodos y del método de las mallas analizando el circuito de ejemplo de la Figura 1.

Es importante entender bien cómo armar las ecuaciones de funcionamiento del circuito para así poder comprender los temas que vengan a continuación. Aquellos que se hayan quedado con dudas, pueden consultarme en la parte de comentarios.

Bien, allá vamos…

Sea el circuito eléctrico de la Figura 1, constituido únicamente por resistencias y fuentes de tensión.

 

circuito-metodo-de-los-nodos
Figura 1

 

Método de los nodos

 

Antes de comenzar cualquier análisis, vamos a adoptar un sentido de circulación de corriente em cada rama. No importa si el sentido elegido es para un lado o para el otro. Lo importante es adoptarlo y respetarlo en el momento de plantear las ecuaciones de funcionamiento. Fue así como hice en la elección de los sentidos de las corrientes I_{{1}} a I_{{6}}.

Haciendo uso de la Ley de las corrientes de Kirchoff:

 

Nodo A \Rightarrow\ I_{{2}}=I_{{1}}+I_{{3}}

Nodo B \Rightarrow\ I_{{4}}=I_{{1}}+I_{{6}}

Nodo C \Rightarrow\ I_{{2}}=I_{{4}}+I_{{5}}

Nodo D \Rightarrow\ I_{{3}}=I_{{5}}+I_{{6}}

 

 

Aquí se observa que tenemos que tener una ecuación por cada nodo. En nuestro circuito de ejemplo tenemos cuatro ecuaciones.

Luego tenemos que tener en cuenta que cada nodo tiene un potencial asociado. Así que en este circuito tenemos los potenciales que llamaremos V_{{A}}, V_{{B}}, V_{{C}} y V_{{D}}.

Ya estamos en condiciones de escribir la ecuación de cada rama:

 

V_{{B}}-V_{{A}}=I_{{1}}.R_{{1}}-V_{{1}}

V_{{A}}-V_{{C}}=I_{{2}}.R_{{2}}

V_{{D}}-V_{{A}}=I_{{3}}.R_{{3}}

V_{{B}}-V_{{C}}=0

V_{D}-V_{C}=V_{2}

V_{D}-V_{B}=-I_{6}.R_{{4}}

 

Una aclaración importante es que la corriente siempre va a circular del extremo de mayor potencial hacia el de menor potencial. Por eso en la última ecuación la corrente I_{6} es negativa.

Listo, ahora ya estamos em condições de hacer simplificaciones.

 

V_{B}=V_{C}

V_{2}=-I_{6}.R_{{4}}       \Rightarrow       I_{6}=-\frac{V_{2}}{R_{4}}

V_{C}-V_{A}=I_{{1}}.R_{{1}}-V_{{1}}=-I_{{2}}.R_{{2}}      \Rightarrow       V_{1}=I_{{1}}.R_{{1}}+I_{{2}}.R_{{2}}

V_{D}-V_{{A}}-V_{{C}}+V_{{A}}=I_{{3}}.R_{{3}}+I_{{2}}.R_{{2}}=V_{{2}}      \Rightarrow     V_{2}=I_{{3}}.R_{{3}}+I_{{2}}.R_{{2}}

 

Ahora vamos a utilizar la ecuación del nodo A:

 

V_{1}=I_{{1}}.R_{{1}}+(I_{{1}}+I_{3}).R_{{2}}        \Rightarrow        V_{1}=I_{{1}}.(R_{{1}}+R_{{2}})+I_{3}.R_{{2}}

V_{2}=I_{{3}}.R_{{3}}+(I_{{1}}+I_{3}).R_{{2}}       \Rightarrow        V_{2}=I_{{1}}.R_{{2}}+I_{{3}}(R_{3}+R_{{2}})

 

Ya podemos calcular una de las corrientes. De la segunda ecuación:

 

\frac{V_{2}-I_{3}.(R_{3}+R_{2})}{R_{2}}=I_{{1}}

 

Y la sustituimos en la primera:

 

V_{{1}}=\frac{V_{2}-I_{3}.(R_{3}+R_{2})}{R_{2}}.(R_{1}+R_{2})+I_{{3}}.R_{{2}}

V_{{1}}=\frac{V_{2}}{R_{2}}.(R_{1}+R_{2})-\frac{I_{3}.(R_{3}+R_{2}).(R_{1}+R_{2})}{R_{2}}+I_{{3}}.R_{{2}}

I_{3}(\frac{(R_{3}+R_{2}).(R_{1}+R_{2})}{{R_{2}}}-R_{2})=V_{{2}}.\frac{(R_{1}+R_{2})}{R_{2}}-V_{{1}}

I_{{3}}((R_{3}+R_{2})(R_{1}+R_{2})-{R_{2}}^2)=V_{{2}}.(R_{1}+R_{2})-V_{{1}}R_{{2}}

 

I_{{3}}=\frac{V_{2}(R_{1}+R_{2})-V_{1}R_{2}}{R_{1}R_{3}+R_{1}R_{2}+R_{3}R_{2}}

 

Y a partir de aquí, I_{{1}} e I_{{2}}:

 

I_{{2}}=\frac{V_{2}-I_{3}R_{3}}{R_{2}}                                    I_{{1}}=\frac{V_{1}-I_{2}R_{2}}{R_{1}}

 

Ya conocemos los valores de I_{6}, I_{3}I_{2} e I_{1}. Utilizando las ecuaciones de los nodos podremos calcular el resto de las corrientes. Así, con la ecuación del Nodo B podemos calcular I_{4}. Y finalmente podemos calcular la corriente faltante, I_{5}, usando las ecuaciones de los nodos C y D.

Una cosa importante es que si al calcular una corriente el valor obtenido es negativo, significa que el sentido de circulación de la misma es opuesto al que adoptamos.

 

Método de las mallas.

 

En este caso, vamos a necesitar adoptar un sentido de análisis para cada malla. Para eso están las flechas circulares marcadas con I, II y III. El sentido de ellas puede ser horario o antihorario, la elección del sentido es libre, igual que la elección de los sentidos de circulación de las corrientes de cada rama. Lo importante aquí también es respetar los sentidos escogidos y plantear las ecuaciones de las mallas respetándolos.      

Para el circuito de la Figura 1, vamos a tener 3 ecuaciones.

 

Malla I       \Rightarrow       V_{{1}}-I_{{1}}R_{{1}}-I_{{2}}R_{{2}}=0

Malla II      \Rightarrow      -V_{{2}}+I_{{2}}R_{{2}}+I_{{3}}R_{{3}}=0

Malla III    \Rightarrow       V_{{2}}+I_{{6}}R_{{4}}=0

 

A partir de la ecuación de la Malla III, ya podemos calcular directamente I_{{6}}.

Ya en las Mallas I y II se forman las dos ecuaciones que analizamos antes por el método de los nodos, y de las cuales conseguimos los valores de I_{{1}}, I_{{2}} e I_{{3}}.

A partir de ahora, haciendo uso de la primera ley de Kirchoff en cada nodo como fue visto en el método anterior, podremos calcular todas las corrientes restantes. 

La pregunta que el lector puede estar haciéndose es: “¿Cuándo usar el método de los nodos y cuándo el método de las mallas?”. La respuesta será: “Aquel que resulte más simple. Cualquiera sea el método que se utilice, los resultados tienen que ser los mismos”.

Dejá un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *