Teorema de Kennelly

Supongamos que nos encontramos en la siguiente situación:

Tenemos un circuito como el de la Figura 1 y necesitamos calcular la resistencia entre los terminales A y B.

Figura 1

 

Como podemos ver, resulta muy complicado agrupar resistencias como para  simplificar nuestro circuito y así poder calcular el valor de resistencia total.

Afortunadamente un ingeniero inglés nacido en la India, Arthur Edwin Kennelly (1861-1939) desarrolló un teorema que nos permite simplificar el análisis de circuitos. Este teorema es conocido como el Teorema de Kenelly, pero también como Transformación Estrella-Triángulo o como Transformación Te-Delta.

Consiste básicamente en que, si tenemos un circuito con cuatro terminales de conexión y tres resistencias (pueden ser impedancias también) formando una “pi” como muestra la Figura 2, entonces podemos sustituirlo por otro circuito de tres resistencias en forma de “T” y viceversa. Como a veces es más facil analizar un circuito que el otro, entonces esta transformación permite pasar fácilmente de una configuración de circuito para la otra facilitando el análisis.

Figura 2

 

La condición que se debe cumplir para que ambos circuitos sean equivalentes es que las resistencias (o impedancias) medidas entre los terminales de conexión sean iguales entre sí. En términos matemáticos:

 

R_{{AB}}=R_{{A'B'}}

R_{{AC}}=R_{{A'C'}}

R_{{BC}}=R_{{B'C'}}

 

O lo que es lo mismo:

R_{{v}}//(R_{u}+R_{w})=R_{{y}}+R_{{z}}

R_{{u}}//(R_{v}+R_{w})=R_{{y}}+R_{{x}}

R_{{w}}//(R_{u}+R_{v})=R_{{z}}+R_{{x}}

 

Vamos ahora a desarrollar un poco más las ecuaciones anteriores.

 

\frac{R_{{v}}.(R_{u}+R_{w})}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{y}}+R_{{z}}

\frac{R_{{u}}.(R_{v}+R_{w})}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{y}}+R_{{x}}

\frac{R_{{w}}.(R_{u}+R_{v})}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{z}}+R_{{x}}

 

\frac{R_{{v}}.R_{u}+R_{{v}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{y}}+R_{{z}}

\frac{R_{{u}}.R_{v}+R_{{u}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{y}}+R_{{x}}

\frac{R_{{w}}.R_{u}+R_{{w}}.R_{v}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}=R_{{z}}+R_{{x}}

 

Si observamos con atención las tres ecuaciones anteriores, podemos ver que:

 

R_{{x}}=\frac{R_{{u}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

R_{{y}}=\frac{R_{{u}}.R_{v}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

R_{{z}}=\frac{R_{{v}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

 

Que son las resistencias incógnitas que queríamos conocer.

Si por el contrario tenemos que pasar de un circuito “T” a uno “pi” entonces las incógnitas serán las resistencias R_{u}R_{v} y R_{w}. Vamos a deducir las fórmulas para encontrarlas aprovechando las ecuaciones anteriores. Para eso, vamos a multiplicar entre sí R_{x}R_{y} y R_{z}

 

R_{{x}}.R_{{y}}=\frac{R_{u}^{2}.R_{v}.R_{w}}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

R_{{y}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}.R_{v}^{2}.R_{w}}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

R_{{x}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}.R_{v}.R_{w}^{2}}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

 

Y ahora sumamos entre sí las tres ecuaciones anteriores.

 

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}^{2}.R_{v}.R_{w}+R_{u}.R_{v}^{2}.R_{w}+R_{u}.R_{v}.R_{w}^{2}}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}.R_{v}.R_{w}.(R_{u}+R_{v}+.R_{w})}{(R_{u}+R_{v}+R_{w})^{2}}

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=\frac{R_{u}.R_{v}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

En la ecuación anterior, del lado derecho del igual, podemos sustituir por el equivalente a R_{x}R_{y} o R_{z} según la resistencia que queramos calcular.

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=R_{x}.R_{v}

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=R_{y}.R_{w}

R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}=R_{z}.R_{u}

 

Y entonces ya estamos en condiciones de calcular R_{u}R_{v} y R_{w}.

 

R_{u}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{z}}

R_{v}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{x}}

R_{w}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{y}}

 

Así, en el circuito de la Figura 1 podemos aplicar esta transformación con las resistencias R_{{1}}, R_{{2}} y R_{{3}}. Es importante aclarar que también podríamos haber aplicado esta transformación con las resistencias R_{{3}}, R_{{4}} y R_{{5}} sin que por ello se modifique el valor final de R_{{AB}}. En la Figura 3 está el circuito con la transformación aplicada. Obsérvese cómo se simplifica enormemente el cálculo de R_{{AB}}.

Figura 3

 

Siendo que:

 

R_{{x}}=\frac{R_{{1}}.R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}

R_{{y}}=\frac{R_{{1}}.R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}

R_{{z}}=\frac{R_{{3}}.R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}

 

Y finalmente la resistencia total del circuito es:

 

R_{{AB}}=\frac{(R_{{y}}+R_{4}).(R_{z}+R_{5})}{R_{4}+R_{5}+R_{y}+R_{z}}+R_{{x}}

 

Conclusión:

 

Las ecuaciones para pasar de un circuito al otro están reescritas a continuación.

 

Para pasar de un circuito “Pi” a uno “T”:

R_{{x}}=\frac{R_{{u}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

R_{{y}}=\frac{R_{{u}}.R_{v}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

R_{{z}}=\frac{R_{{v}}.R_{w}}{R_{u}+R_{v}+R_{w}}

 

Para pasar de un circuito “T” a uno “Pi”:

R_{u}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{z}}

R_{v}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{x}}

R_{w}=\frac{R_{{x}}.R_{{y}}+R_{{y}}.R_{{z}}+R_{{x}}.R_{{z}}}{R_{y}}

Como se pudo ver, usar este teorema simplifica mucho el análisis de circuitos. Además las ecuaciones para calcular las resistencias no son complicadas, por lo que se recomienda usarlo cada vez que se necesite.

 

 

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