Teorema de Thevenin. Teorema de Norton.

A menudo, cuando analizamos un circuito electrónico, nos encontramos en la situación de que es muy complicado poder calcular una corriente o una caída de tensión entre dos puntos de dicho circuito.

Estos dos teoremas que voy a presentar a continuación simplifican mucho el análisis de circuitos, ya que permiten sustituir nuestro circuito bajo análisis por otro equivalente formado solamente por una impedancia y una fuente de tensión o corriente.

 

Vamos con el primero:

 

Teorema de Thèvenin

 

Este teorema establece que:

 

“Todo circuito lineal activo con dos terminales de salida puede ser sustituído por una impedancia en serie con una fuente de tensión”.

 

Dicho de otra manera, si tenemos un circuito complejo, formado por impedancias y fuentes de tensión y/o corriente y con dos terminales de salida, éste puede ser sustituido para fines de cálculo por otro formado por una impedancia en serie con una fuente de tensión. La Figura 1 nos muestra un ejemplo de eso.

Figura 1

 

El primer paso para hallar nuestra impedancia equivalente es pasivar todas las fuentes de tensión y corriente del circuito. Para eso tenemos que tener en cuenta que :

 

  • Las fuentes de tensión se pasivan reemplazándolas por un cortocircuito.
  • Las fuentes de corriente se pasivan reemplazándolas por un circuito abierto.

 

En la Figura 2 se puede ver cómo nos queda el circuito bajo análisis luego de haber pasivado todas las fuentes.

Figura 2

 

La resistencia equivalente de Thèvenin, que llamaremos R_{Th}, es la que se puede medir entre los terminales de salida A y B.

Vamos agrupando resistencias a fin de simplificar el cálculo. Primero agrupamos R_{1} con R_{3} y la llamamos {R_{1}}^{'}

{R_{1}}^{'}=R_{{1}}+R_{{3}}

 

Figura 3

 

Luego podemos agrupar {R_{1}}^{'} con {R_{4}}^{}

 

{R_{4}}^{'}={R_{1}}^{'}//R_{{4}}

{R_{4}}^{'}=\frac{{R_{1}}^{'}.{R_{4}}}{{R_{1}}^{'}+{R_{4}}}

Figura 4

 

{R_{2}}^{'}=R_{{2}}+{R_{4}}^{'}

Figura 5

 

Y Finalmente:

 

R_{{Th}}=R_{{7}}+(R_{{2}}^{'}//R_{{5}})

 

A continuación vamos a calcular la tensión de Thèvenin, a la que llamaremos V_{{Th}}. Para ello tenemos que trabajar con el circuito original, sin sus fuentes pasivadas. V_{{Th}} es la tensión que se mide entre los terminales de salida. Para calcularla podemos aplicar las leyes de Ohm y de Kirchoff que vimos anteriormente.

Figura 6

 

V_{{Th}}=V_{{AB}}=V_{{R5}}

V_{R5}=I_{2}.R_{5}

.

Está claro que lo que nos interesa calcular es I_{2}. Vamos a utilizar para ello el método de las mallas.

.

I_{2}=I_{1}+I_{3}

 

V_{{1}}+V_{{R4}}=V_{{R1}}+V_{{R3}}

V_{{2}}=V_{{R2}}+V_{{R4}}+V_{{R5}}

.

V_{{1}}-I_{{3}}.R_{{4}}=I_{{1}}.(R_{{1}}+R_{{3}})

V_{{2}}=I_{{1}}.(R_{{1}}+R_{{3}})+I_{{3}}.R_{{4}}

.

V_{{1}}-I_{{3}}.R_{{4}}=(I_{{2}}-I_{{3}}).(R_{{1}}+R_{{3}})

V_{{2}}=I_{{2}}.(R_{{2}}+R_{{5}})+I_{{3}}.R_{{4}}

.

V_{{1}}=I_{{2}}.(R_{{1}}+R_{{3}})+I_{{3}}.(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}})

V_{{2}}=I_{{2}}.(R_{{2}}+R_{{5}})+I_{{3}}.R_{{4}}

.

V_{{1}}-V_{{2}}.\frac{R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}}}{R_{{4}}}=I_{{2}}.(R_{{1}}+R_{{3}})-I_{{2}}.\frac{(R_{{2}}+R_{{5}}).(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}})}{R_{{4}}}

V_{{1}}.R_{{4}}-V_{{2}}.(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}}})=I_{{2}}.[R_{{4}}.(R_{{1}}+R_{{3}})-(R_{{2}}+R_{{5}}).(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}})}]

.

I_{{2}}=\frac{{V_{{1}}.R_{{4}}-V_{{2}}.(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}}})}{R_{{4}}.(R_{{1}}+R_{{3}})-(R_{{2}}+R_{{5}}).(R_{{4}}-R_{{1}}-R_{{3}})}}}

.

Y finalmente

.

V_{Th}=I_{2}.R_{5}

.

 

Ahora vamos con el segundo teorema:

 

 

Teorema de Norton:

 

 

Este teorema establece que:

 

“Todo circuito lineal activo con dos bornes de salida puede ser sustituído por una impedancia en paralelo con una fuente de corriente”.

 

En el circuito de ejemplo analizado anteriormente, el circuito equivalente de Norton queda como muestra la Figura 7.

Figura 7

 

La resistencia de Norton, que llamaremos  R_{N}  se calcula exactamente igual que la impedancia de Thèvenin, por lo que no lo haremos aquí.

 

R_{N}=R_{Th}

 

La corriente de Norton se calcula cortocircuitando los bornes de salida y calculando la corriente que circula entre ellos, en nuestro caso I_{{6}}, tal como muestra la Figura 8.

Figura 8

 

En los nodos del circuito observamos que:

 

Nodo U \Rightarrow I_{{2}}=I_{{3}}+I_{{1}}

Nodo V \Rightarrow I_{{1}}=I_{{4}}+I_{{6}}

Nodo W \Rightarrow I_{{5}}=I_{{3}}+I_{{4}}

Nodo X \Rightarrow I_{{2}}=I_{{5}}+I_{{6}}

 

Ahora, para calcular I_{{6}} podemos usar el método de las mallas.

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}+I_{{3}}.R_{{4}}=I_{{1}}.(R_{1}+R_{3})

Malla II \Rightarrow V_{{2}}+I_{{2}}.R_{{2}}+I_{{3}}.R_{{4}}+I_{{5}}.R_{{5}}

Malla III \Rightarrow I_{{5}}.R_{{5}}-I_{{6}}.R_{{7}}=0

 

De la Malla III se desprende que:

 

I_{{5}}=I_{6}\frac{R_{7}}{R_{5}}

 

Vamos a trabajar ahora con las Mallas I y II

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=I_{{1}}.(R_{1}+R_{3})-I_{{3}}.R_{{4}}

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=I_{{2}}.R_{2}+I_{3}R_{4}+I_{{5}}.R_{{5}}

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=(I_{4}+I_{6}).(R_{1}+R_{3})-(I_{5}-I_{4}).R_{4}

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=(I_{5}+I_{6}).R_{2}+(I_{5}-I_{4}).R_{4}+I_{{5}}.R_{{5}}

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=I_{4}.(R_{1}+R_{3})+I_{{6}}.(R_{1}+R_{3})-I_{{5}}.R_{{4}}+I_{{4}}.R_{{4}}

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=I_{5}.R_{2}+I_{{6}}.R_{2}+I_{{5}}.R_{{4}}-I_{{4}}.R_{{4}}+I_{{5}}.R_{{5}}

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=I_{4}.(R_{1}+R_{3}+R_{4})+I_{{6}}.(R_{1}+R_{3})-I_{{6}}.\frac{R_{7}}{R_{5}}.R_{{4}}

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=-I_{4}.R_{4}+I_{{6}}.R_{2}+I_{{6}}.(R_{{2}}+R_{{4}}+R_{{6}}).\frac{R_{7}}{R_{5}}

 

Malla I \Rightarrow V_{{1}}=I_{4}.(R_{1}+R_{3}+R_{4})+I_{{6}}.(R_{1}+R_{3}-\frac{R_{7}}{R_{5}}.R_{{4}})

Malla II \Rightarrow V_{{2}}=-I_{4}.R_{4}+I_{{6}}.(R_{2}.\frac{R_{7}}{R_{5}}+R_{2}+R_{4}+R_{5}).\frac{R_{7}}{R_{5}}

 

Ahora mutiplicamos por \frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}} a ambos lados del igual en la ecuación de la Malla I

 

Malla I \Rightarrow \frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}.V_{1}=I_{4}R_{4}+I_{6}.(\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}).(R_{1}+R_{3}-\frac{R_{7}.R_{4}}{R_{5}})

 

Y si sumamos la ecuación anterior con la última ecuación de la Malla II que desarrollamos, conseguimos eliminar I_{{4}} y sólo queda la corriente I_{{6}}, que es la que queremos conocer.

 

Malla I + Malla II

 

 \frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}.V_{1}+V_{2}=I_{6}.(\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}).(R_{1}+R_{3}-\frac{R_{7}.R_{4}}{R_{5}})+I_{6}.(R_{2}.\frac{R_{7}}{R_{5}}+R_{2}+R_{4}+R_{5}).\frac{R_{7}}{R_{5}}

 

I_{6}=\frac{{\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}.V_{1}+V_{2}}}{(\frac{R_{4}}{R_{1}+R_{3}+R_{4}}).(R_{1}+R_{3}-\frac{R_{7}.R_{4}}{R_{5}})+(R_{2}.\frac{R_{7}}{R_{5}}+R_{2}+R_{4}+R_{5}).\frac{R_{7}}{R_{5}}}

 

Listo. Ya tenemos la corriente de Norton y podemos entonces armar el circuito equivalente.

 

Hay que señalar que estos dos teoremas son duales. Esto quiere decir que se puede pasar de un circuito equivalente Thèvenin a uno Norton y viceversa. Las fórmulas para pasar de un circuito al otro son las siguientes:

 

R_{{Th}}=R_{{N}}

I_{{N}}=\frac{ {V_{Th}}} {R_{Th} }

 

 

 

Conclusión

 

A veces nos podemos encontrar con un circuito muy complejo para analizar, y en donde tenemos que calcular una tensión o corriente  en cierto punto del mismo, y las ecuaciones para hallar la incógnita que estamos buscando se hacen muy largas y complejas. Gracias a los teoremas que acabamos de ver aquí, el cálculo se puede facilitar enormemente al tomar una parte de nuestro circuito y sustituirla por una resistencia y una fuente.

 

Estos dos teoremas son muy utilizados en análisis de circuitos. Mas adelante, con toda seguridad, vamos a utilizarlos.

 

 

 

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